Module 1 - Réapprentissage du sens du nombre

Ainsi, lorsque les élèves entrent en seconde, ils sont censés avoir compris depuis très longtemps les principes fondamentaux concernant les nombres, tels que les principes de cardinalité, de décomposition, d’ordinalité et de position. 

  

Le principe de cardinalité est acquis dès la naissance : un nouveau-né est capable d’estimer des quantités. Sa précision numérique s’améliore progressivement avec l’âge mais, au début, elle reste relativement limitée. La capacité à estimer le plus précisément possible des quantités apparait comme une compétence pivot dans l’acquisition de mathématiques formelles à l’école, et prédit le succès de réussite en mathématiques des élèves. Cette première étape est suivie par d’autres (deux ou trois selon la granularité du modèle cognitif) de connaissances hiérarchiques (Krajewski, K., & Schneider, W., 2009 ; Fritz, Ehlert, Leutner, 2018). Tout d’abord, l’enfant associe progressivement des quantités numériques aux mots et aux symboles écrits. Un deuxième principe crucial à cette période (entre 4 et 6 ans, environ) est l’idée qu’un ensemble d’objets peut être divisé en différentes quantités (ex : 5 = 2 + 3) : c’est le principe de décomposition. Il existe d’autres éléments clefs pour la maîtrise des nombres symboliques. Par exemple, les enfants qui ont la capacité à ordonner une suite de nombres écrits en chiffres arabes ou à estimer si une suite de nombres est ascendante ou non montrent de meilleurs résultats en mathématiques par la suite (Lyons & Ansari, 2015). Le système des chiffres arabes est basé sur le principe de position, où la valeur des chiffres se définit en fonction de leur rang dans l'écriture d'un nombre (exemple, le chiffre 1 dans 15 ou dans 91).  

 Ainsi, pour une complète compréhension des quantités numériques, les capacités innées ont besoin d’être mises en relation avec le système symbolique, qui suppose une bonne maîtrise de la cardinalité, de l’ordinalité et du système de notation (ex : principe de position). De manière intéressante, les chercheurs ont montré qu’espace et nombre apparaissent associés sous la forme d’une ligne mentale (orientée de gauche à droite dans les cultures occidentales) sur laquelle la valeur cardinale d’un nombre est représentée.  

 
Si l’ensemble de ces principes sont généralement acquis dès l’entrée à l’école primaire, puis consolidés au cours du cycle 2, les tests de positionnement pour la classe de seconde en mathématiques révèlent que pour certains élèves plusieurs de ces compétences restent fragiles, voire insuffisantes, comme décomposer un entier, repérer un entier sur une droite graduée, ou connaître la place des chiffres dans l’écriture décimale.  
Pour renforcer ces compétences, indispensable à la réussite en mathématiques, le module propose une remédiation sous forme d’entraînement fluide et progressif, de manière à ce que l’élève se réapproprie et consolide les principes de cardinalité (exercices d’estimation quantitative), de décomposition, d’ordinalité et de position (exercices avec ligne numérique).  

Ce module reprend des éléments du test de positionnement de seconde tel que :  

 

• Connaître la place des chiffres dans l’écriture décimale  
• Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, repérage sur une droite graduée) 
• Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur 

Tout en incluant des éléments du Programme de Seconde générale et technologie :  

 

• Manipuler les nombres réels 
• Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire 
• Puissance positive d’un nombre entier positif 

Outre le fait que la capacité innée de cardinalité et prédit le succès de réussite en mathématiques des élèves (Fiegenson et al., 2013 ; Starr et al., 2013). Par ailleurs, une étude longitudinale a montré une relation réciproque entre la capacité à placer des nombres sur une ligne mentale et les capacités en mathématiques formelles.  Les performances en mathématiques sont un facteur prédictif de l'acuité sur la tâche de ligne mentale et vice versa. Cela peut indiquer que les enfants utilisent non seulement leurs capacités numériques innés pour apprendre à comprendre et à résoudre des problèmes mathématiques, mais aussi, et peut-être surtout, qu'ils développent des représentations plus exactes des nombres en s'exerçant à résoudre des problèmes mathématiques.  

Par ailleurs, des études montrent que des entraînements sur le positionnement de quantités non symboliques, nombres symboliques et fractions sur une ligne numérique a un effet de transfert positif sur des tests classiques scolaire en mathématiques chez les enfants de 11 ans (Barbieri et al., 2020). Cet effet était significatif immédiatement après l’entraînement et sept semaines après l’entraînement. Brannon et collaborateurs ont montré que le calcul approximatif avec les nuages de points améliorerait aussi la capacité de faire des calculs symboliques (Park & Brannon, 2013; Szkudlarek & Brannon, 2018).